12 ^ 2.3. Специфические свойства разностных схем. Выше мы рассмотрели основные свойства разностных схем: аппроксимацию, устойчивость и сходимость. Однако, при конструировании разностных схем зачастую приходится заботиться и о других свойствах. Это может быть связано с особенностями решения, которые необходимо сохранить, например, монотонность, принцип максимума. Наиболее типичным требованием такого рода является консервативность. Другие требования связаны с эффективностью машинной реализации. Наиболее важным здесь является принцип расщепления, предложенный и детально изученный Н. Н. Яненко. Метод прекрасно изложен в его книге [33]. 2.3.1. Консервативность. В первой главе мы видели, что дифференциальные уравнения механики сплошной среды выводятся из законов сохранения массы, импульса, энергии. В ряде случаев сохраняются и другие интегральные величины. Так, при счете теплопроводности сохраняется внутренняя энергия. При счете адиабатических газодинамических течений сохраняется энтропия. В химической кинетике обычно сохраняются некоторые комбинации концентраций реагентов. В численном счете зачастую нас интересуют не значения функций в отдельных точках, а интегральные значения импульса, средней плотности, энергии в отдельных областях или задаче в целом. В этом случае желательно, чтобы разностная схема также удовлетворяла некоторому аналогу законов сохранения. Замечено, что часто это приводит к увеличению точности решения и в отдельных точках. Мы рассмотрим понятие консервативности применительно к уравнениям теплопроводности и газовой динамики. Ниже будет показано, что используя схему расщепления по физическим процессам эти уравнения можно разделить, в результате чего исследовать (и программировать) отдельно. Для простоты ограничимся одномерным случаем. Рассмотрим уравнение теплопроводности Здесь R - плотность вещества, E - внутренняя (тепловая) энергия, j - коэффициент теплопроводности, T - температура, источник тепла будем считать равным нулю. Энергия связана функциональной зависимостью с температурой и плотностью: E = E(R,T). Рассмотрим в качестве примера одномерную сферически симметрическую задачу. Построим пространственную сетку с узлами ri. Определим энергию ячейки В скобках здесь стоит объем ячейки (в расчете на один стерадиан). Энергию всей задачи или отдельной области можно определить как суммарную энергию входящих в нее ячеек. Нам нужно сконструировать разностную схему таким образом, чтобы изменение этой энергии на каждом шаге по времени в точности равнялось притоку тепла за счет потоков на границе области. Так как число ячеек в области может быть любым, то схему нужно конструировать так, чтобы это свойство выполнялось для каждой ячейки. Для этого схему естественно строить в виде: Изменение энергии ячейки определяется потоками тепла на ее границах, пропорциональных площади границы и градиенту температуры. Здесь остается еще произвол в том, как аппроксимировать градиент температуры по пространственной переменной, с какого шага по времени его брать. В случае нелинейной зависимости энергии от температуры возникает проблема выбора метода (обычно итерационного) нахождения температуры. Все эти вопросы могут решаться по разному, но консервативность схемы обеспечивается в любом случае с точностью до погрешностей округления и независимо от точности итераций для температуры и погрешности аппроксимации схемы. Важно то, что теперь для любой области, то есть любого числа подряд идущих ячеек, суммарное изменение энергии выражается через потоки только на границах этой области. Действительно, из вида формулы следует, что потоки на общей границе двух соседних ячеек равны по величине и противоположны по знаку и, следовательно, при суммировании все внутренние потоки уничтожатся. Это свойство и является основополагающим при конструировании консервативных схем. Схемы с такого рода взаимоуничтожающимися потоками иногда называют дивергентными. Правильнее их было бы называть постинтегральными, так как они по сути аппроксимируют интегральные законы сохранения. Взаимоуничтожающиеся члены можно назвать контурными, так как они соответствуют контурным интегралам в законах сохранения. Свойство консервативности может до известного предела компенсировать плохую аппроксимацию или ее отсутствие и даже недостатки диффузионной модели относительно модели переноса излучения. Представим себе, что мы рассчитываем тепловую волну, движущуюся с конечной скоростью. Допустим, что поток тепла на границе области задан точно. Тогда, если мы в силу плохой аппроксимации или неточности модели занизим, к примеру, скорость тепловой волны, то это приведет к ошибке в значении функции: в силу закона сохранения температура за фронтом окажется завышенной. Это приведет к завышению градиента температуры в разностном решении и соответствующему увеличению скорости распространения тепла. Тем самым происходит саморегуляция численного решения. Выше мы уже отмечали, что в задачах ядерной физики потоки энергии, переносимой излучением, очень велики и свойство консервативности совершенно необходимо для правильного описания процесса. В газодинамике можно рассматривать несколько законов сохранения. Во-первых, это закон сохранения массы. В лагражевых сеточных методиках сохранение массы не представляет труда. Достаточно сохранять во времени массу каждой счетной ячейки, что обычно и предполагается при конструировании разностной схемы. В эйлеровых методиках или при использовании подвижных сеток необходимо пользоваться тем же подходом, что в теплопроводности: изменение массы ячейки выражать через потоки массы на ее границах. Тогда убыль массы одной ячейки компенсируется точно таким же ростом массы соседней ячейки. Несколько сложнее обстоит дело в методах частиц. Обычно частицы считаются материальными корпускулами и их массы сохраняются в течении счета. Это приводит к представлению, что закон сохранения массы автоматически выполняется. Но реально в уравнениях газодинамики используется не масса, а плотность. Поэтому нужно смотреть, как в методе вычисляется плотность вещества и закон сохранения массы правильнее трактовать, как сохранение интеграла плотности по фиксированному лагранжеву объему. Такой интеграл не всегда равен сумме масс частиц в этом объеме. Подробнее мы об этом поговорим во второй книге. Второй закон сохранения в газодинамике связан с импульсом. По сути импульс ячейки равен интегралу по объему ячейки от произведения плотности на скорость вещества. В тех случаях, когда мы оперируем с непрерывными восполнениями сеточных функций (как в методе конечных элементов) импульс определяется однозначно. Для сеточных функций, заданных в дискретных точках, импульс также естественно определяется, если плотность и скорость заданы в одних точках. Однако, в тех (наиболее распространенных) схемах, где плотность и скорость определены в различных точках пространственной или временной сетки, определение импульса ячейки неоднозначно. В лагранжевых схемах типа КРЕСТ обычно импульс связывают с узлом, а не с ячейкой. Для этого определяют массу узла как сумму половин
1.55 Mb.Название страница12/13Дата конвертации19.10.2012Размер1.55 Mb.Тип источник
2.3. Специфические свойства разностных схем - В. Л. Загускин
Комментариев нет:
Отправить комментарий